数学話題保管庫

今年の福島県立医科大で，以下のような問題が出題されました．

(中略)$x=\sin(x+a)$の解を$f(a)$で表わす．(中略)
(5)導関数の定義と$\dfrac{\sin x}{x}=1$を利用することにより，関数$f(x)$が$0\lt x\lt2\pi$において微分可能であることを示せ．
ただし，$f(x)$は$0\le x\le 2\pi$で連続であると仮定してよい．

つまり，$y=\sin(x+y)$を満たすような$y=f(x)$を考えよう，ということです．
ただし，$y=t$および$y=\sin(x+t)$のグラフを書いてみればわかる通り，
$x$が定まれば，$y=\sin(x+y)$をみたす$y$の値も定まるため，$x$は一価関数です．

この関数$y=f(x)$のグラフを書くにはどうすればいいでしょう．

まず，微分方程式に持ち込むとすれば，$y=\sin(x+y)$の両辺を$x$で微分して
\[
\dfrac{dy}{dx}=\left(1+\dfrac{dy}{dx}\right)\cos(x+y)
\]より
\[
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\cos(x+y)}{1-\cos(x+y)}
\]となります．

この微分方程式を求積法で解くことは多分できないので，数値計算の必要がありそうですね．

ちなみに，入試の(5)は，微分の定義にならって解答を書くべきですね．
$f(x)=\sin(x+f(x))$より
\[
\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h+f(x+h))-\sin(x+f(x))}{h}
\]\[
=\lim_{h\to 0}\dfrac{2}{h}\cos\dfrac{2x+h+f(x+h)+f(x)}{2}\sin\dfrac{h+f(x+h)-f(x)}{2}
\]で，$\cos$の項はどうせ$\cos(x+f(x))$へと収束するので関係なし．

問題は不定形となる$\dfrac2h\sin\dfrac{h+f(x+h)-f(x)}{2}$ですが，これも
\begin{align*}
\lim_{h\to 0}&\dfrac2h\sin\dfrac{h+f(x+h)-f(x)}{2}\\
&=\lim_{h\to 0}\dfrac{2(h+f(x+h)-f(x))}{h}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{h+f(x+h)-f(x)}{2}}{h+f(x+h)-f(x)}\\
&=\lim_{h\to 0}2\left(1+\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\cdot\dfrac12\\
&=1+f'(x)
\end{align*}となり，結局
\[
\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=(1+f'(x))\cos(x+f(x))
\]から$f'(x)$を$\cos(x+f(x))$で表すことができ，微分可能性が示されるという寸法．最後に出てきた式は，上で2行で示した
\[
\dfrac{dy}{dx}=\left(1+\dfrac{dy}{dx}\right)\cos(x+y)
\]と同一の式です．

ところで，三角関数の和積公式がパッと出てきませんでした．
受験時代は（暗記はしていなかったにしろ）これぐらいならすぐ変換できたものです．
勘が鈍るというのは怖いですね．