数学話題保管庫

  

ふと思ったこと．

初等的な数学用語は，高校数学で定義されます．
しかし，いったん定義したものの，しばらく学んでいくと
「この定義ではマズい」（本当は正しくない，一般化するとき都合が悪い，論理の流れを作りにくいetc...）
と考えられ，大学数学になって一般的な定義が改められることがあります．

たとえば$\sin\theta$．高校数学では座標平面上の単位円を用いた定義ですが，
大学数学ではべき級数，もしくは積分を用いるのが一般的でしょう．

たとえば内積．大きさかける大きさかけるなす角ではなく，ある公理を満たすものを内積と呼びます．
それどころか，ベクトルの定義すら全然違います．
ベクトルは用いる定義が分野でも違うためしょうがないのですが…

こうなると，果たして，高校で定義したものがずっと使われている，そんな数学用語のほうが珍しい気もしてきます．
私が知る限り，等比数列とかは高校数学の定義でも十分通用すると思うんですが，どうでしょう．

以上，独り言でした．  

最近，1の原始$n$乗根について，
以下のような性質がありそうだ，と気づきました．

$\omega$を1の原始$n$乗根とすると，
\[
\left(\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{k^2}\right)^2
=\begin{cases}
2ni&(n\equiv 0 \mod 4)\\
n&(n\equiv 1 \mod 4)\\
0&(n\equiv 2 \mod 4)\\
-n&(n\equiv 3 \mod 4)
\end{cases}
\]が成立する．

まだ証明はできてませんが，$n=100$まで計算させたところ成立しているから，おそらく成立するんでしょう．
証明ができたらいずれまた．  

私が受験時代に作った問題．

$x,y$ は $0\le x\le\pi,\;0\le y\le\pi$ をみたす実数であり，$\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)=\cos y$ を満たしているとする．このときに
\[
z=\sin(x+y)-3\cos x+\sqrt3\sin x+\dfrac52
\]の最大値，最小値を求めよ．

受験時代に作っただけあって，非常に受験数学の色が濃い問題です．
本当は誘導付きの穴埋め式（というよりもセンター試験）を想定して作った問題です．
暇つぶしにどうぞ．  

今年の福島県立医科大で，以下のような問題が出題されました．

(中略)$x=\sin(x+a)$の解を$f(a)$で表わす．(中略)
(5)導関数の定義と$\dfrac{\sin x}{x}=1$を利用することにより，関数$f(x)$が$0\lt x\lt2\pi$において微分可能であることを示せ．
ただし，$f(x)$は$0\le x\le 2\pi$で連続であると仮定してよい．

つまり，$y=\sin(x+y)$を満たすような$y=f(x)$を考えよう，ということです．
ただし，$y=t$および$y=\sin(x+t)$のグラフを書いてみればわかる通り，
$x$が定まれば，$y=\sin(x+y)$をみたす$y$の値も定まるため，$x$は一価関数です．

この関数$y=f(x)$のグラフを書くにはどうすればいいでしょう．

まず，微分方程式に持ち込むとすれば，$y=\sin(x+y)$の両辺を$x$で微分して
\[
\dfrac{dy}{dx}=\left(1+\dfrac{dy}{dx}\right)\cos(x+y)
\]より
\[
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\cos(x+y)}{1-\cos(x+y)}
\]となります．

この微分方程式を求積法で解くことは多分できないので，数値計算の必要がありそうですね．  <%word_read_next%>

ぼくが高3のころ作った問題．

【問題】
\[
\sum_{l=1}^n\left(\sum_{k=1}^l\dfrac{l}{n+k}\right)
\]
を$n$のみの式で表せ．


受験期に作った問題だけあって，
受験問題を意識しているのか，答えがきれいになります．
息抜きにどうぞ．